Question

17．已知抛物线y²=4x的焦点为F，点M为直线x=-2上的一动点，过点M向抛物线y²=4x的作切线，切点为B，C，以点F为圆心的圆与直线BC相切，则该圆面积的取值范围为（　　）

• A． （0，π）
• B． （0，π]
• C． （0，4π）
• D． （0，4π]

Answer 1

分析 由题意可知，当点M为（-2，0），此时圆的面积最大，设出切线方程，联立方程组，根据△=0，求出k²=$\frac{1}{2}$，再求出x的值，问题得以解决．

解答 解：由题意可知，当点M为（-2，0），此时圆的面积最大，
设过点（-2，0）的抛物线的切线方程为y=k（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$得到k²（x+2）²=4x，即k²x²+4（k²-1）x+4k²=0
∴△=16（k²-1）²-14k⁴=0，
解得k²=$\frac{1}{2}$，
把k²=$\frac{1}{2}$代入k²（x+2）²=4x得到（x-2）²=0，解得x=2，
则F到直线BC距离为2-1=1，即圆的半径为1．此时面积为π，
则该圆的面积的取值范围为（0，π]．
故选：B．

点评 本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及点到直线的距离，关键是判断出当点M为（-2，0），此时圆的面积最大，属于中档题．