Question

12．已知直线l₁：mx+y-2m-2=0，l₂：x-my+2m-2=0，l₁与y轴交于A点，l₂与x轴交于B点，l₁与l₂交于D点，圆C是△ABD的外接圆．
（1）判断△ABD的形状并求圆C面积的最小值；
（2）若D，E是抛物线x²=2py与圆C的公共点，问：在抛物线上是否存在点P是使得△PDE是等腰三角形？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于l₁⊥l₂，所以△ABD是直角三角形，△ABD外接圆圆心直径是AB，|AB|²=8（m²+1），所以外接圆C面积的最小值为2π；
（2）假设存在点P（x₀，y₀）满足条件，则${x_0}^2=2{y_0}$，分当DE是底时，当PE是底时，当PD是底时，分别求出相应的点的个数，问题得以解决．

解答 解：（Ⅰ）由于l₁⊥l₂，所以△ABD是直角三角形，
A（0，2m+2），B（2-2m，0），D（2，2），
则△ABD外接圆圆心直径是AB，|AB|²=8（m²+1），
要使△ABD外接圆C面积最小，则|AB|²_min=8，当且仅当m=0时成立，
所以外接圆C面积的最小值为2π．
（Ⅱ）由D（2，2）点在抛物线x²=2py上，则x²=2y，
圆C过原点，则抛物线与圆的公共点是D（2，2），E（0，0），
假设存在点P（x₀，y₀）满足条件，则${x_0}^2=2{y_0}$，
（1）当DE是底时，DE中点Q（1，1），DE中垂线方程：y=-x+2，代入抛物线x²=2y
得：x²+2x-4=0，△=20＞0，所以存在两个满足条件的P点．
（2）当PE是底时，PE中点M$（\frac{x_0}{2}，\frac{y_0}{2}）$，则DM⊥PE，
即${x_0}（\frac{x_0}{2}-2）+{y_0}（\frac{y_0}{2}-2）=0，{x_0}^3-4{x_0}-16=0$，
设f（x）=x³-4x-16，f'（x）=3x²-4，
则f（x）在$（-∞，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，+∞）$递增，在$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$递减，
因为$f（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）＜0，f（0）=-16＜0$，f（3）=-1＜0，f（4）=32＞0，
所以f（x）在（3，4）有唯一零点，存在一个满足条件的P点．
（3）当PD是底时，PD中点N$（\frac{x_0}{2}+1，\frac{y_0}{2}+1）$，
则EN⊥PD，$\overrightarrow{EN}=（\frac{x_0}{2}+1，\frac{y_0}{2}+1）$，$\overrightarrow{DP}=（{x_0}-2，{y_0}-2）$，$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{DP}=0$，
即$（\frac{{{x_0}+2}}{2}）（{x_0}-2）+（\frac{{{y_0}+2}}{2}）（{y_0}-2）=0$，
所以$（\frac{{{x_0}^2-4}}{2}）+（\frac{{{x_0}^2+4}}{4}）（\frac{{{x_0}^2-4}}{2}）=0$，则${x_0}^2-4=0$或${x_0}^2+8=0$，
只有1解x₀=-2．
综上所述：以上零点不重复，共有4个满足条件的P点．

说明：
若只画出以上三图，说明DE作为底或腰的等腰三角形有4个，最多给（2分），若不完整给（1分）；若只有结果4个等腰三角形，给（1分）．

点评 本小题考查对含参直线方程的理解，抛物线的基础知识，探究存在性问题，考查学生的数学思维能力及逻辑运算能力，考查数形结合、函数方程、分类与整合的数学思想．