Question

4．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，前n项和S_n满足S_n=（2n²-n）a_n．
（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）归纳猜想{a_n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得S₁，S₂，S₃，S₄．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有S_k=$\frac{k}{2k+1}$，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可

解答 解：（1）S₁=a₁=$\frac{1}{3}$，
S₂=（2×4-2）（S₂-S₁），∴S₂=$\frac{2}{5}$，
S₃=（2×9-3）（S₃-S₂），∴S₃=$\frac{3}{7}$，
S₄=（2×16-4）（S₄-S₃），∴S₄=$\frac{4}{9}$
（2）由（1）的计算可猜想S_n=$\frac{n}{2n+1}$，
下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
则当n=k+1时，S_k+1=[2×（k+1）²-（k+1）]（S_k+1-S_k），
∴（2k²+3k）S_k+1=k（k+1），
∴S_k+1=$\frac{k+1}{2k+3}$=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．