Question

14．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB₁的中点，O_l为上底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：O₁M⊥平面ACM；
（Ⅱ）求AD₁与平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）计算AM，AO₁，MO₁，CM，CO₁，根据勾股定理的逆定理得出AM⊥O₁M，CM⊥O₁M，于是O₁M⊥平面ACM；
（2）连结BD交AC于点O，连接OO₁，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{A{D}_{1}}$和平面ADM的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|即为所求．

解答 证明：（Ⅰ）连接AO₁，CO₁，
∵直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD=60°，M为BB₁的中点，
∴O₁B₁=1，B₁M=BM=1，O₁A₁=$\sqrt{3}$，
∴O₁M²=O₁B₁²+B₁M²=2，AM²=AB²+BM²=5，O₁A²=O₁A₁²+A₁A²=7，
∴O₁M²+AM²=O₁A²，∴O₁M⊥AM．
同理：O₁M⊥CM，
又∵CM∩AM=M，AM?平面ACM，CM?平面ACM，
∴O₁M⊥平面ACM．
（Ⅱ）连结BD交AC于点O，连接OO₁，
以O为坐标原点，OA，OB，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2），M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，2，1），
设平面ADM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x-y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$．令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AD1}$，$\overrightarrow{n}$=4$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=4，|$\overrightarrow{A{D}_{1}}$|=2$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}×4}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴AD₁与平面ADM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．