Question

6．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
（Ⅰ）求二面角P-AM-N的余弦值；
（Ⅱ）求直线CD与平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）通过证明AM⊥平面PCD得出AM⊥PM，AM⊥MN，故而∠PMN为所求二面角的平面角，设PA=AD=2，利用勾股定理求出PD，PC，根据相似三角形转化为求cos∠PCD；
（II）延长NM、CD交于点E，则∠CEN为所求角，利用相似三角形转化为求sin∠CPD．

解答 解：（1）∵PC⊥平面AMN，AM?平面AMN，
∴PC⊥AM．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD，
∴CD⊥AM．
又PC，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴AM⊥平面PAD，∵PM?平面PCD，MN?平面PCD，
则AM⊥PM，AM⊥MN．
故∠PMN为二面角P-AM-N的平面角，
令PA=AD=2，则PD=2$\sqrt{2}$，∴PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵Rt△PMN∽Rt△PCD，∴∠PMN=∠PCD．
∴cos∠PMN=cos∠PCD=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-AM-N的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）延长NM、CD交于点E，
∵PC⊥平面AMN，
∴∠CEN为直线CD与面AMN所成的角，
∵PD⊥CD，EN⊥PN，∴Rt△PCD∽Rt△ECN，
∴∠CEN=∠CPD．
∴sin∠CEN=sin∠CPD=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即直线CD与平面AMN所成角正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的作法与计算，属于中档题．