Question

4．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥7的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，根据函数f（x）=|x+3|+|x-2|的意义，求得不等式f（x）≥7的解集．
（Ⅱ）由题意可得，当x∈[0，2]时，|x+a|≤|x-4|-|x-2|恒成立，等价于-2-a≤x≤2-a，根据-2-a≤0，2-a≥2，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|x+3|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-3、2对应点的距离之和，
而-4和3对应点到-3、2对应点的距离之和正好等于7，
故不等式f（x）≥7的解集为{x|x≤-4 或x≥3}．
（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，2]，即当x∈[0，2]时，|x+a|+|x-2|≤|x-4|恒成立，
即|x+a|≤|x-4|-|x-2|恒成立，
等价于-2-a≤x≤2-a．
由题意可得，-2-a≤0，2-a≥2，求得-2≤a≤0．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．