Question

9．已知点M，N分别在曲线C₁：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-2）²=1和曲线C₂：y²=x上运动，那么|MN|的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 |MN|的最小值，转化为圆心与抛物线上的点的最小值即可．

解答 解：曲线C₁：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-2）²=1的圆心为C（$\frac{1}{2}$，2），半径为1，
设抛物线上的点为N（x，y），则NC=$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{{y}^{4}-4y+\frac{17}{4}}$，
设f（y）=${y}^{4}-4y+\frac{17}{4}$，则f′（y）=4y³-4，
函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴y=1时，函数f（y）取得最小值$\frac{5}{4}$，
∴|MN|的最小值是$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查圆与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．