Question

11．已知椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点A（0，1），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，圆C：x²+y²=4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM、PM．
（1）求椭圆T的方程；
（2）求证：PM⊥PN．

Answer 1

分析 （1）由已知及椭圆中的隐含条件联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）当P点横坐标为$±\sqrt{3}$时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN；当P点横坐标不为$±\sqrt{3}$时，设P（x₀，y₀），则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，设PM的方程为y-y₀=k（x-x₀），联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0得到关于k的一元二次方程，利用根与系数的关系证得PM⊥PN．

解答 （1）解：由题意可知：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即2a²=3c²，
又a²=b²+c²，联立解得a²=3，b²=1．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：①当P点横坐标为$±\sqrt{3}$时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN；
②当P点横坐标不为$±\sqrt{3}$时，设P（x₀，y₀），则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，
设k_PM=k，PM的方程为y-y₀=k（x-x₀），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{0}）+{y}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$．
消去y得：$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}+6k（{y}_{0}-k{x}_{0}）x+3{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-6k{x}_{0}{y}_{0}+3{{y}_{0}}^{2}-3=0$．
依题意：△=$36{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}-4（1+3{k}^{2}）（3{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-6k{x}_{0}{y}_{0}）+3{{y}_{0}}^{2}-3）=0$，
化简得：$（3-{{x}_{0}}^{2}）{k}^{2}+2{x}_{0}{y}_{0}k+1-{{y}_{0}}^{2}=0$．
又k_PM、k_PN为上面方程的两根，
∴${k}_{PM}•{k}_{PN}=\frac{1-{{y}_{0}}^{2}}{3-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{1-（4-{{x}_{0}}^{2}）}{3-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{{{x}_{0}}^{2}-3}{3-{{x}_{0}}^{2}}=-1$．
∴PM⊥PN．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与计算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．