Question

3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若b=2acosC，则△ABC的形状一定是（　　）

• A． 等腰直角三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰或直角三角形

Answer 1

分析 （法一）根据正弦定理、内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围即可判断出△ABC的形状；
（法二）根据余弦定理化简已知的式子，即可判断出△ABC的形状．

解答 解：（法一）∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，
∵B=π-（A+C），∴sin（A+C）=2sinAcosC，
则sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，
sinAcosC-cosAsinC=0，即sin（A-C）=0，
∵A、C∈（0，π），∴A-C∈（-π，π），则A-C=0，
∴A=C，∴△ABC是等腰三角形；
（法二）∵b=2acosC，∴由余弦定理得b=2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
化简得a²-c²=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：C．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用：边角互化，考查化简、变形能力，属于中档题．