Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，点M（x₀，y₀）是椭圆C上的一点，圆M（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²．
（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
（2）从原点O向圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$作两条切线与椭圆C交于P，Q两点（P，Q不在坐标轴上），设OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂．
①试问k₁，k₂是否为定值？若是，求出这个定值；若不是说明理由；
②求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出圆心M（$\sqrt{3}$，±$\frac{1}{2}$），由此能求出圆M的方程；
（2）①推导出k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的两根，由此能利用韦达定理能求出k₁k₂为定值；
②设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，由此利用椭圆性质，结合已知条件运用基本不等式能求出|OP|•|OQ|的最大值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，可得右焦点的坐标为（$\sqrt{3}$，0），
即有圆心M（$\sqrt{3}$，±$\frac{1}{2}$），
可得圆M的方程为（x-$\sqrt{3}$）²+（y±$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$；
（2）①k₁k₂为定值-$\frac{1}{4}$．
由圆M与直线OP：y=k₁x相切，
可得$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即（4-5x₀²）k₁²+10x₀y₀k₁+4-5y₀²=0，
同理，（4-5x₀²）k₂²+10x₀y₀k₂+4-5y₀²=0，
即有k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的两根，
可得k₁k₂=$\frac{4-5{{y}_{0}}^{2}}{4-5{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{4-5（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）}{4-5{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{-1+\frac{5}{4}{{x}_{0}}^{2}}{4-5{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
②设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得x₁²=$\frac{4}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，y₁²=$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，
同理，x₂²=$\frac{4}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，y₂²=$\frac{4{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，
（|OP|•|OQ|）²=（$\frac{4}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$）•（$\frac{4}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$+$\frac{4{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$）
=$\frac{4（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$•$\frac{4（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$=$\frac{4+4{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$•$\frac{1+16{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$≤$\frac{（\frac{5+20{{k}_{1}}^{2}}{2}）^{2}}{（1+4{{k}_{1}}^{2}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
当且仅当k₁=±$\frac{1}{2}$时，取等号，
可得|OP|•|OQ|的最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与求法，考查两线段的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、圆的性质的合理运用．