Question

4．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（0，$\sqrt{3}$），且椭圆C经过点P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）的斜率不为0的直线与椭圆交于A、B两点，A关于y轴的对称点为A′，求证：A′B恒过y轴上的一个定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=$\sqrt{3}$，将P的坐标代入椭圆方程，由a，b，c的关系可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有A'（-x₁，y₁），直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线A'B的方程，令x=0，求得y，化简整理，即可得到定值4，即有直线A'B恒过定点．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，将P的坐标代入椭圆方程可得：
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，又a²-b²=3，
解得a=2，b=1，
即有椭圆的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有A'（-x₁，y₁），
直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程4x²+y²=4，可得：
（4+k²）x²+2kx-3=0，可得x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
直线A'B的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₁），
令x=0，可得y=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+1）+{x}_{2}（k{x}_{1}+1）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$+1=$\frac{2k•（-3）}{-2k}$=1=4．
则A′B恒过y轴上的一个定点（0，4）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线恒过定点的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的点斜式方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．