Question

3．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F₂的直线交椭圆于C，D两点．△F₁CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．则椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{2}$+y²=1
• B． $\frac{x^2}{3}$+$\frac{y^2}{2}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}$+y²=1
• D． $\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1

Answer 1

分析 由△F₁CD的周长为8，可得4a=8，解得a=2．设C（x₁，y₁），可得${x}_{1}^{2}=4（1-\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}）$，由于直线AC，BC的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{1}+b}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，代入化简可得b²．即可得出．

解答 解：∵△F₁CD的周长为8，∴4a=8，解得a=2．
设C（x₁，y₁），则${x}_{1}^{2}=4（1-\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}）$，
∵直线AC，BC的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，∴$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{1}+b}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，∴$4（{y}_{1}^{2}-{b}^{2}）$+${x}_{1}^{2}$=0，
化为：$4（{y}_{1}^{2}-{b}^{2}）$+$4（1-\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}）$=0，可得b²=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．