Question

已知函数（）.
（1）证明：当时，在上是减函数，在上是增函数，并写出当时的单调区间；
（2）已知函数，函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）证明详见解析，在是减函数，在是增函数；（2）.

解析试题分析：（1）根据函数单调性的定义进行证明即①设；②作差：；③因式分解到最简；④根据条件判定符号；⑤作出结论，经过这五步即可证明在单调递减，同理可证在是增函数，最后由奇函数的性质得出；在是减函数，在是增函数；（2）先将“对任意，总存在，使得成立”转化为“函数在区间的值域包含了在区间的值域”，分别根据函数的单调性求出这两个函数的值域，最后由集合的包含关系即可得到的取值范围.
试题解析：（1）证明：当时
①设是区间上的任意两个实数，且，则

∵，∴，
∴，即
∴在是减函数   4分
②同理可证在是增函数        5分
综上所述得：当时， 在是减函数，在是增函数    6分
∵函数是奇函数，根据奇函数图像的性质可得
当时，在是减函数，在是增函数   8分
（2）∵ （）  8分
由（1）知：在单调递减，单调递增
∴
，     10分
又∵在单调递减
∴由题意知：
于是有：，解得      12分.
考点：1.函数的单调性与最值；2.函数的奇偶性；3.函数的值域.