Question

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a²+b²=λab．
（1）若$λ=\sqrt{6}$，$B=\frac{5π}{6}$，求sinA；
（2）若λ=4，AB边上的高为$\frac{{\sqrt{3}c}}{6}$，求C．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理得：$4{sin^2}A-2\sqrt{6}sinA+1=0$，结合范围可求$sinA＜\frac{1}{2}$，即可得解sinA的值．
（2）由题意及三角形面积公式可求${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{c^2}$，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得$sin（{C+\frac{π}{6}}）=1$，结合范围$\frac{π}{6}＜C+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，可求C的值．

解答 解：（1）由已知$B=\frac{5π}{6}$，${a^2}+{b^2}=\sqrt{6}ab$，结合正弦定理得：$4{sin^2}A-2\sqrt{6}sinA+1=0$，
于是$sinA=\frac{{\sqrt{6}±\sqrt{2}}}{4}$．
因为$0＜A＜\frac{π}{6}$，
所以$sinA＜\frac{1}{2}$，
可得$sinA=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．
（2）由题意可知${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{c^2}$，得：$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{12}（{{a^2}+{b^2}-2abcosC}）=\frac{{\sqrt{3}}}{12}（{4ab-2abcosC}）$．
从而有：$\sqrt{3}sinC+cosC=2$，即$sin（{C+\frac{π}{6}}）=1$，
又因为$\frac{π}{6}＜C+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
所以，$C=\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．