Question

14．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，AB⊥BC，且N是A₁B的中点．
（1）求证：直线AN⊥平面A₁BC；
（2）若M在线段BC₁上，且MN∥平面A₁B₁C₁，求证：M是BC₁的中点．

Answer 1

分析 （1）证明AN⊥BC，AN⊥A₁B，即可证明直线AN⊥平面A₁BC；
（2）证明MN∥A₁C₁，利用 N是A₁B的中点，可得结论．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AB⊥BC，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁AB，…（3分）
∵AN?平面A₁AB，
∴AN⊥BC，
∵AA₁=AB，且 N是A₁B的中点，
∴AN⊥A₁B，
∵A₁B∩BC=B，
∴直线AN⊥平面A₁BC…（7分）
（2）证明：∵MN∥平面A₁B₁C₁，
∴MN∥A₁C₁，
∵N是A₁B的中点，
∴M是BC₁的中点…（14分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．