Question

20．函数y=sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{6}$-x）的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{1+\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用诱导公式及两角差的余弦展开，降幂后利用辅助角公式化积，则答案可求．

解答 解：y=sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{6}$-x）=cosx（cos$\frac{π}{6}cosx$+sin$\frac{π}{6}sinx$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}x$+$\frac{1}{2}sinxcosx$=$\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{4}（1+cos2x）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x）+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴${y}_{max}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的最值，考查了诱导公式、倍角公式及两角和的正弦，是基础题．