Question

【题目】设函数f（x）=loga（x﹣3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点
Q（x﹣2a，﹣y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）﹣g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，

y=f（x）=loga（x﹣3a），

﹣y=g（x﹣2a），

则g（x﹣2a）=﹣loga（x﹣3a），

令t=x﹣2a，

则g（t）=﹣loga（t﹣a），

则g（x）=﹣loga（x﹣a）

（2）

解：∵f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞），

∴[a+2，a+3]（3a，+∞）

∴a+2＞3a＞0，

∴0＜a＜1，

∴|f（x）﹣g（x）|≤1可化为a≤x2﹣4ax+3a2≤ ，

又∵x∈[a+2，a+3]时，x2﹣4ax+3a2=（x﹣2a）2﹣a2∈[4﹣4a，9﹣6a]

∴ ，

∴0＜a≤

【解析】（1）由题意，y=f（x）=loga（x﹣3a），﹣y=g（x﹣2a）；则g（x﹣2a）=﹣loga（x﹣3a），利用换元法求函数解析式；（2）先由f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞）可知0＜a＜1，进而化简|f（x）﹣g（x）|≤1为a≤x2﹣4ax+3a2≤ ，从而求a．
【考点精析】关于本题考查的对数函数的定义域，需要了解对数函数的定义域范围:（0，+∞）才能得出正确答案．