【题目】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ )的图象如图所示,直线x=
,x=
是其两条对称轴.
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间;
(2)若f(α)= ,且
,求
的值.
【答案】
(1)解:由题意, =
﹣
=
,∴T=π;
又∵ω>0,∴ω=2,
∴f(x)=2sin(2x+φ);
∵f( )=2sin(
+φ)=2,
∴解得φ=2kπ﹣ (k∈Z);
又∵﹣ <φ<
,∴φ=﹣
,
∴f(x)=2sin(2x﹣ );
∵2kπ﹣ ≤2x﹣
≤2kπ+
(k∈Z),
∴kπ﹣ ≤x≤kπ+
(k∈Z),
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ﹣ ,kπ+
](k∈Z)
(2)解:解法1:依题意得,2sin(2α﹣ )=
,即sin(2α﹣
)=
,
∵ <α<
,∴0<2α﹣
<
;
∴cos(2α﹣ )=
=
,
f( +α)=2sin[(2α﹣
)+
];
∵sin[(2α﹣ )+
]=sin(2α﹣
)cos
+cos(2α﹣
)sin
= (
+
)=
,
∴f( +α)=
.
解法2:依题意得,sin(2α﹣ )=
,得sin2α﹣cos2α=
,①
∵ <α<
,∴0<2α﹣
<
,
∴cos(α﹣ )=
=
,
由cos(2α﹣ )=
得,sin2α+cos2α=
;②
① +②得,2sin2α= ,
∴f( +α)=
.(
解法3:由sin(2α﹣ )=
得,sin2α﹣cos2α=
,
两边平方得,1﹣sin4α ,∴sin4α=
,
∵ <α<
,∴
<4α<
,∴cos4α=﹣
=﹣
,
∴sin22α= =
;
又∵ <2α<
,∴sin2α=
,
∴f( +α)=
.
【解析】(1)根据函数的图象求出T、ω和φ的值,即得f(x),再求出f(x)的单调增区间;(2)解法1:由sin(2α﹣ )求出cos(2α﹣
)的值,利用两角和的公式计算f(
+α)的值;解法2:由sin(2α﹣
)得sin2α﹣cos2α的值,cos(α﹣
)得cos(2α﹣
)即sin2α+cos2α的值,计算出f(
+α)的值;解法3:由sin(2α﹣
)得sin2α﹣cos2α的值,再得sin4α的值,再求出sin2α的值,从而求出f(
+α)的值.
【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,需要了解图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=loga(x﹣3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点
Q(x﹣2a,﹣y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式;
(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)﹣g(x)|≤1,试确定a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】圆(x+2)2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为( )
A.(x﹣2)2+y2=5
B.x2+(y﹣2)2=5
C.(x﹣1)2+(y﹣1)2=5
D.(x+1)2+(y+1)2=5
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【题目】已知y=f(x+1)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[1,2)时,f(x)=log2x,设a=f( ),
,c=f(1),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b
B.c<a<b
C.b<c<a
D.c<b<a
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a(Sn﹣an+1)(a为常数,且a>0),且a3是6a1与a2的等差中项.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=anlog2an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】在正四棱锥中,已知异面直线
与
所成的角为
,给出下面三个命题:
:若
,则此四棱锥的侧面积为
;
:若
分别为
的中点,则
平面
;
:若
都在球
的表面上,则球
的表面积是四边形
面积的
倍.
在下列命题中,为真命题的是( )
A. B.
C.
D.
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