Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a（Sn﹣an+1）（a为常数，且a＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=anlog2an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据Sn=a（Sn﹣an+1），分别令n=1，2，3，可求得：

；

∴6a+a2=a3；

∵a＞0；

∴6+a=a2，解得a=3；

∴Sn=3（Sn﹣an+1）①；

∴n＞1时，Sn﹣1=3（Sn﹣1﹣an﹣1+1）②；

∴①﹣②得：an=3an﹣1；

∴ ；

∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列；

∴

（2）解： ；

∴Tn=b1+b2+…+bn=log23（131+232+…+n3n） ①；

∴3Tn= ②；

∴①﹣②得： = = ；

∴ ．

【解析】（1）根据已知条件即可求出a=3，所以根据n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1可得到an=3an﹣1 ， 所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，所以根据等比数列的通项公式可写出an；（2） ，所以 ①，而要求131+232+…+n3n容易想到用错位相减法： ②，①﹣②即可求得Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．