Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分别是A₁C₁、BC的中点，AC=4，CB=2，AA₁=

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，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）FC₁∥平面ABE
（II）求证AB⊥BC
（III）求三棱锥C₁-BEF的体积．

Answer 1

分析：（I）取AB中点D，连接ED，DF，证明FC₁∥ED，可得FC₁∥平面ABE
（II）取B₁C₁的中点G，连接EG，GB，过C作CH⊥GB于H，证明AB⊥平面BB₁C₁C，可得AB⊥BC；
（III）由AB⊥平面BB₁C₁C，可得EG⊥平面BB₁C₁C，即EG即为三棱锥C₁-BEF的底面C₁BE上的高，求现底面面积和高，代入棱锥的体积公式，可得三棱锥C₁-BEF的体积

解答：证明：（I）证明：取AB中点D，连接ED，DF，则DF∥EC₁，且DF=EC₁，
∴FC₁∥ED
∵FC₁?平面ABE，ED?平面ABE
∴FC₁∥平面ABE
（II）取B₁C₁的中点G，连接EG，GB，
则EG∥AB，GB是平面ABE与平面BB₁C₁C的交线
过C作CH⊥GB于H，则∵平面ABE⊥平面BB₁C₁C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC₁⊥AB，CC₁∩CH=C
∴AB⊥平面BB₁C₁C
∵BC?平面BB₁C₁C
∴AB⊥BC
解：（III）∵AB⊥BC
∴AB=2

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∴EG=

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∵AB⊥平面BB₁C₁C
∴EG⊥平面BB₁C₁C
∴S△C1BE=1
∴VC1-BEF=VE-C1BF=

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点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查面面角，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定，性质及几何特征和相互转化是解答的关键．