Question

证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n．（n＞1，n∈N₊）

Answer 1

考点：归纳推理,不等式的证明

专题：归纳法,点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：利用数学归纳法证明．当n取初始值2时，代入原不等式中，可得到验证；假设n=k时，原不等式成立，写出n=k+1时，不等式左边的和式，再设法将其放大到k+1，从而由n=k时成立，推出n=k+1时也成立，根据归纳法原理，即可得知，原不等式对所有的n＞1，n∈N₊都成立．

解答： 证明：（1）当n=2时，1+

1

2

+

1

3

=

11

6

＜2，原不等式成立．
（2）假设n=k时，原不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＜k，则
当n=k+1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…

1

2k+2k-1

＜k+

1

2k

+

1

2k

…+

1

2k

=k+

1

2k

•2k=k+1．
即n=k+1时，原不等式也成立．
综合（1）、（2）知，对一切n＞1，且n∈N₊，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n．

点评：本题考查了利用数学归纳法证明不等式，证明时应注意以下几点：
①对于初始值的验证与归纳假设，二者缺一不可；
②当n=k+1时，应弄清不等式左边有多少项，以及各项是什么；
③必须利用归纳假设，并适当地放缩到n=k+1时不等式右边的情形．