Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上
（Ⅰ）写出S_n关于n的函数表达式
（Ⅱ）求证：数列{a_n}的通项公式并证明它是等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据点在直线上的关系即可写出S_n关于n的函数表达式
（Ⅱ）求出数列{a_n}的通项公式，结合等差数列的定义即可证明数列{a_n}是等差数列．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上，
∴

Sn

n

=-n+12，
则S_n=n²+12n，
即S_n关于n的函数表达式为S_n=n²+12n．
（Ⅱ）∵S_n=n²+12n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+12n-[（n-1）²+12（n-1）]=2n+11，
当n=1时，a₁=S₁=1+12=13，满足a_n=2n+11，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+11，
则当n≥2时，a_n-a_n-1=2n+11-2（n-1）-11=2，
则数列{a_n}是等差数列．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及等差数列的判断，根据数列a_n=S_n-S_n-1（n≥2）的关系是解决本题的关键．