Question

已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若关于x的方程

1

f(x)-4

=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x-1|+|2x+2|=

3x+1，x≥1 x+3，-1＜x＜1 -3x-1，x≤-1

，分类讨论求得原不等式解集．
（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得

1

f(x)-4

的取值范围．再根据关于x的方程

1

f(x)-4

=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|x-1|+|2x+2|=

3x+1，x≥1 x+3，-1＜x＜1 -3x-1，x≤-1

，
当x≥1时，由3x+5＞5解得：x＞

4

3

；当-1＜x＜1时，由x+3＞5得x＞2 （舍去）．
当x＜-1时，由-3x-1＞5，解得x＜-2．
所以原不等式解集为{x|x＜-2 x＞

4

3

}．
（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（-∞，-1）上单调递减，
在区间（-1，+∞）上单调递增．
并且f（x）的最小值为f（-1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞），
从而f（x）-4的取值范围是[-2，+∞），
进而

1

f(x)-4

的取值范围是（-∞，-

1

2

]∪（0，+∞）．
根据已知关于x的方程

1

f(x)-4

=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（-

1

2

，0]．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．