Question

设p，q是奇数，求证：方程x²+2px+2q=0没有有理根．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法,推理和证明

分析：设存在有理根，则x=

-2p± 4p2-8q

2

中至少有一个为有理数，可得存在有理数a使：4p²-8q=a²．设a=2b，再分类讨论，得出矛盾，即可证明结论．

解答： 证明：设存在有理根则x=

-2p± 4p2-8q

2

中至少有一个为有理数．
∴

4p2-8q

为有理数
即存在有理数a使：4p²-8q=a²．
p，q是奇数，a整数
可设a=2b，∴p²-2q=b²，
∴p²-b²=2q
∴（p-b）（p+b）=2q
若b奇数，则p-b，p+b偶数，则2q=（p-b）（p+b）为4的倍数，q为偶数，矛盾
若b偶数，则p-b，p+b奇数，则2q=（p-b）（p+b）为奇数，矛盾，
∴假设不成立，
∴p，q是奇数，方程x²+2px+2q=0没有有理根．

点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法是关键．