Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率e=

6

3

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E标准方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是椭圆E上的两点，

m

=(x1，

3

y1)，

n

=(x2，

3

y2)，且

m

•

n

=0，设M（x₀，y₀），且

OM

=cosθ•

OP

+sinθ•

OQ

（θ∈R），求x₀²+3y₀²的值；
（Ⅲ）如图，若分别过椭圆E的左右焦点F₁，F₂的动直线?₁，?₂相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄．是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）首先，根据已知条件确定，a，b，c即可；
（Ⅱ）利用向量关系，建立关系式，然后，结合三角关系求解即可；
（Ⅲ）首先，对直线的斜率是否存在进行分类，然后，设直线的方程，联立方程组，建立关系式进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）a=3，1-

b2

a2

=e2⇒

b2

9

=1-

6

9

⇒b2=3，
所以椭圆标准方程

x2

9

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ） 

m

•

n

=0⇒x1x2+3y1y2=0，

x

2 1

+3

y

2 1

=9，

x

2 2

+3

y

2 2

=9，M（x₀，y₀），
则（x₀，y₀）=（x₁cosθ，y₁cosθ）+（x₂sinθ，y₂sinθ）
=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ）（6分）
则

x

2 0

+3

y

2 0

=(x1cosθ+x2sinθ)2+3(y1cosθ+y2sinθ)2
=(

x

2 1

+3

y

2 1

)cos2θ+(

x

2 2

+3

y

2 2

)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+3y1y2)
=9（sin²θ+cos²θ）=9…（8分）
（Ⅲ）据题，得 F1(-

6

，0)，F2(

6

，0)，
当直线l₁或l₂斜率不存在时，
P点坐标为（-

6

，0）或（

6

，0），
当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．
∴l₁的方程为y=m₁（x+

6

），l₂的方程为y=m₂（x-

6

）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立方程组

y=m1(x+ 6 ) x2 9 + y2 3 =1

，消去y，得，
(1+3

m

2 1

)x2+6

6

m

2 1

x+18

m

2 1

-9=0，

∴x1+x2=

-6 6 m 2 1

1+3 m 2 1

，x1x2=

18 m 2 1 -9

1+3 m 2 1

，
同理x3+x4=

6 6 m 2 2

1+3 m 2 2

，x3x4=

18 m 2 2 -9

1+3 m 2 2

．…（9分）
∵k1=

y1

x1

=

m1(x1+ 6)

x1

=m1+

6 m1

x1

，k2=

y2

x2

=m1+

6 m1

x2

，k3=

y3

x3

=m2-

6 m2

x3

，k4=

y4

x4

=m2-

6 m2

x4

…（10分）
又满足k₁+k₂=k₃+k₄，
∴2m1+

6 m1(x1+x2)

x1x2

=2m2-

6 m2(x3+x4)

x3x4

⇒2m1+

6 m1(-6 6 m 2 _ )

18 m 2 1 -9

=2m2-

6 m2•6 6 m 2 2

18 m 2 2 -9

⇒m1m2=-

1

2

设点P（x，y），则

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

2

⇒

x2

6

+

y2

3

=1，（x≠±

6

）…（11分）
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-

6

，0）或（

6

，0）也满足，
∴点P在椭圆

x2

6

+

y2

3

=1上，
则存在点M、N其坐标分别为（-

3

，0）、（

3

，0），使得|PM|+|PN|=2

6

为定值．…（12分）

点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于难题．