Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，试问：当

CD

CC1

的值为多少时，A₁C⊥平面C₁BD？并给予证明．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：当

CD

CC1

=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD，A₁C与C₁O相交于G，说明点G是正三角形C₁BD的中心，证明CG⊥平面C₁BD，即可证明A₁C⊥平面C₁BD．

解答： 解：当

CD

CC1

=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD．
∵

CD

CC1

=1，
∴BC=CD=C₁C，
又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，
由此可推得BD=C₁B=C₁D．
∴三棱锥C-C₁BD是正三棱锥．（3分）
设A₁C与C₁O相交于G．
∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，
∴C₁G：GO=2：1．
又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C₁BD的中心，
∴CG⊥平面C₁BD，
即A₁C⊥平面C₁BD．（6分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，考查空间想象能力，属于中档题．