Question

P为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一点，M，N分别是（x+5）²+y²=4圆和（x-5）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为                                    （　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、7

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设通过双曲线的定义推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答： 解：双曲线

x2

9

-

y2

16

=1，如图：
∵a=3，b=4，c=5，
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=6+1+2
=9．
故选：B．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．