Question

已知向量

m

=（cosx，sin（

π

2

+x）），

n

=（2

3

sinx，2cosx）．
（Ⅰ）若

m

≠0，

m

∥

n

，求tan2x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=

m

•

n

，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由向量共线的坐标表示和诱导公式，结合同角的商数关系和二倍角的正切公式，计算即可得到；
（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示，由二倍角的正弦、余弦公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值和x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）向量

m

=（cosx，sin（

π

2

+x）），

n

=（2

3

sinx，2cosx）．
若

m

≠0，

m

∥

n

，则2cos²x=2

3

sinxsin（

π

2

+x），
即cos²x=

3

sinxcosx，（cosx≠0），
即有tanx=

3

3

，
tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

2× 3 3

1- 1 3

=

3

；
（Ⅱ）函数f（x）=

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cosxsin（

π

2

+x）
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，f（x）取得最大值，且为3，
此时x的取值集合为{x|x=x=kπ+

π

6

，k∈Z}．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标运算，主要考查诱导公式和二倍角公式及两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的最值，属于中档题．