Question

设a，b＞0，a≠b，lna-lnb=a-b，给出下列结论：
①0＜ab＜1；②0＜a+b＜2；③a+b-ab＞1．
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：lna-lnb=a-b，化为lna-a=lnb-b．令f（x）=lnx-x，（x＞0），利用导数可得函数f（x）的单调性，画出图象．不妨设0＜a＜b．0＜a＜1＜b．0＜

1

b

＜1．
①证明ab＜1，只要证明f(a)＜f(

1

b

)即可，即证明lnb-b＜ln

1

b

-

1

b

，化为g（b）=2lnb-b+

1

b

＜0，（b＞1）．利用导数研究其单调性即可得出．
②由图象可得b-1＞1-a，可得a+b＞2，即可判断出正误；
③由图象可得：（a-1）（b-1）＜0，化简即可判断出正误．

解答： 解：lna-lnb=a-b，化为lna-a=lnb-b．
令f（x）=lnx-x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
当x＞1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=-1．
∵a，b＞0，a≠b，不妨设0＜a＜b．
又f（a）=f（b），
则0＜a＜1＜b．0＜

1

b

＜1．
①证明ab＜1，只要证明a＜

1

b

，
∵0＜a＜

1

b

＜1，
∴只要证明f(a)＜f(

1

b

)即可，
∵f（a）=f（b），
∴只要证明f（b）＜f(

1

b

)即可，
即证明lnb-b＜ln

1

b

-

1

b

，
化为g（b）=2lnb-b+

1

b

＜0，（b＞1）．
g′（b）=

2

b

-1-

1

b2

=

-(b-1)2

b2

＜0，
∴函数g（b）在b＞1时单调递减，
∴g（b）＜g（1）=0，
因此f（b）＜f(

1

b

)成立，即f(a)＜f(

1

b

)成立，
∴a＜

1

b

＜1，
∴0＜ab＜1正确，①正确．
②由图象可得b-1＞1-a，∴a+b＞2，∴②不正确；
③∵（a-1）（b-1）＜0，∴a+b-ab＞1，因此③正确．
综上可得：①③正确．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．