Question

已知f（x）=4^|x|+x²+a有唯一的零点，则实数a的值为（　　）

• A、0
• B、-1
• C、-2
• D、-3

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：根据解析式得出x≥0时，f（x）=4^x+x²+a，
可知f（x）此时为增函数，x≤0时，f（x）=4^|x|+x²+a此时为减函数，
可判断：f（x）=4^|x|+x²+a，在x=0时，取最小值f（0）=1+a，求解即可得出答案．

解答： 解；∵f（x）=4^|x|+x²+a，
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=4^|x|+x²+a为偶函数，
∵x≥0时，f（x）=4^x+x²+a，
根据函数解析式判断f（x）此时为增函数，
∴x≤0时，f（x）=4^|x|+x²+a此时为减函数，
可判断：f（x）=4^|x|+x²+a，在x=0时，取最小值f（0）=1+a，
∵f（x）=4^|x|+x²+a有唯一的零点，
∴只能是f（0）=0，a+1=0，a=-1，
故选：B．

点评：本题考查了函数的对称，单调性，奇偶性，根据最小值，判断零点问题，综合性大，但是计算难度不大．