Question

为了治理“沙尘暴“，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象，原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：根据题意利用今年的绿化面积表示出明年的绿化面积是解决本题的关键，弄清楚今年的绿化面积与明年绿化面积之间的关系，将文字语言表示为数学语言，根据等比数列的定义可证得数列{a_n-

3

5

}是以-

1

5

为首项，公比为

4

5

的等比数列，得出该数列的通项公式，利用指数式和对数式之间的关系确定出合题意的年份．

解答： 解：设经过n年绿洲面积为a_n+1，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-8%）+（1-a_n）•12%
即a_n+1=80%a_n+12%，
∴a_n+1-

3

5

=

4

5

（a_n-

3

5

）
∴数列{a_n-

3

5

}是以-

1

5

为首项，公比为

4

5

的等比数列
∴a_n-

3

5

=（-

1

5

）×（

4

5

）^n-1，即a_n=（-

1

5

）×（

4

5

）^n-1+

3

5

则a_n+1=（-

1

5

）×（

4

5

）ⁿ+

3

5

≥

1

2

即

1

2

≥（

4

5

）ⁿ
两边同时取对数可得-lg2≥n（2lg2-lg5）=n（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

＞3，故使得上式成立的最小n∈N^*为4，
答：最少需要经过4年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%．

点评：本题考查数列在实际问题中的应用，考查探索数列递推关系的数学模型意识，关键要将题目中的文字语言转化为数学语言，考查学生根据数列的递推关系确定通项公式的方法，考查学生对数的运算、转化与化归思想方法．