Question

在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则

b

c

+

c

b

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用三角形ABC的面积为

1

2

bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底与高乘积的一半表示三角形ABC的面积，两者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，变形后，将表示出的sinA代入，得到

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA，左边利用基本不等式求出最小值，右边利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出右边式子的最大值，即为

b

c

+

c

b

的最大值，即可得

b

c

+

c

b

的范围．

解答： 解：∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA=

5

(

2 5

5

cosA+

5

5

sinA)=

5

sin(α+A)≤

5

，其中tanA=2，
又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

的取值范围是[2，

5

]．
故答案为：[2，

5

]．

点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及基本不等式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．