Question

【题目】已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；

（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.

（1）抛物线的准线方程为，

，直线，点F到直线l的距离为，

，

所以椭圆的标准方程为；

（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，

联立，消去得，，

，设，

，

，

，

线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，

，，

，平方整理得，

解得或（舍去），，

所求的直线方程为或.