Question

给出下列命题：
①函数y=sin（

3

2

π+x）是偶函数；
②函数y=cos（2x+

π

4

）图象的一条对称轴方程为x=

π

8

；
③对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
④若对?x∈R函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则4是该函数的一个周期．
其中真命题的个数为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据诱导公式和余弦函数的奇偶性，可判断①；根据正弦函数的对称性，可判断②；根据奇函数在对称区间上单调相同，偶函数在对称区间上单调相反，及导数符号与函数单调性的关系，可判断③；根据函数周期性的定义可判断④

解答： 解：函数y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，满足f（-x）=f（x）为偶函数，故①正确；
由2x+

π

4

=kπ，k∈Z得：x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，故函数y=cos（2x+

π

4

）图象的一条对称轴方程为

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，故②错误；
由已知可得函数f（x）为奇函数，函数g（x）为偶函数，当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，函数f（x），g（x）均为均函数，
故x＜0时，函数f（x）为增函数，g（x）为减函数，故f′（x）＞0，g′（x）＜0，即f′（x）＞g′（x），故③正确；
若f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f[（x+2）]=f（x），即4是该函数的一个周期，
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，对称性，单调性，周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．