Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，证明f（x）+f（1-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数表达式直接代入整理即可．

解答 证明∵f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$+$\frac{{2}^{x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{\sqrt{2}+{2}^{x}}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{\sqrt{2}+{2}^{x}}{\sqrt{2}（\sqrt{2}+{2}^{x}）}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故f（x）+f（1-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$成立．

点评 本题主要考查函数方程的证明，根据指数幂的运算法则进行化简是解决本题的关键．