Question

20．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}+m-2}$（m∈Z）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）的图象关于y轴对称，试求函数g（x）=2x+$\frac{1}{f（x）}$的最小值．

Answer 1

分析 根据幂函数的单调性求出m的值，代入f（x）再验证条件求出f（x），代入g（x）的解析式配方后，由二次函数的性质求出g（x）的最小值．

解答 解：∵f（x）=x${\;}^{{m}^{2}+m-2}$（m∈Z）在（0，+∞）上是减函数，
∴m²+m-2＜0，解得-2＜m＜1，
∵m∈N^*，∴m=-1或0，
当m=-1时，y=x^-2为偶函数满足条件，
当m=0时，y=x^-2为偶函数满足条件，
∴g（x）=2x+$\frac{1}{f（x）}$=x²+2x=（x+1）²-1，
∴函数g（x）的最小值是-1．

点评 本题考查幂函数的性质的应用，以及二次函数的性质，属于基础题．