Question

5．在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x²+y²=4相切，即圆x²+y²=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为$±2\sqrt{2}$；②若将①中的“圆x²+y²=4”改为“曲线x=$\sqrt{4-{y}^{2}}$”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=$\sqrt{4-{y}^{2}}$上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2]．．

Answer 1

分析 ①利用直线和圆相切的关系进行求解．
②曲线x=$\sqrt{4-{y^2}}$表示圆x²+y²=4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．

解答 解：①若直线y=x+b与圆x²+y²=4相切，则圆心到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=2$，
即|b|=2$\sqrt{2}$，即b=$±2\sqrt{2}$，
由x=$\sqrt{4-{y}^{2}}$得x²+y²=4（x≥0），
则对应的曲线为圆的右半部分，
直线y=x+b的斜率为1，（如图），设满足条件的两条临界直线分别为m和l，
根据题意，曲线上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1，因此其中两个交点必须在直线m″（过点（0，-2））和直线l″之间，
设（0，-2）到直线m的距离为1，可得$\frac{|0+2+b|}{\sqrt{2}}$=1，
解得b=$\sqrt{2}$-2，或b=2+$\sqrt{2}$（舍去），
∴直线m的截距为$\sqrt{2}$-2，
设直线l″为圆的切线，则直线l″的方程为x-y-2$\sqrt{2}$=0，
由l到l″的距离为1可得$\frac{|b-（-2\sqrt{2}）|}{\sqrt{2}}$=1，
解方程可得b=$-\sqrt{2}$，即直线l的截距为-$\sqrt{2}$，
根据题意可知，直线在m和l之间，
∴b的取值范围为：（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2]
故答案为：$±2\sqrt{2}$，（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2]．

点评 本题主要考查直线和圆的综合应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．