Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴，且过点，过的直线交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线是抛物线的准线，求证：以为直径的圆与直线相切.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见详解.

【解析】

（1）根据题意，设出抛物线方程，根据抛物线经过的点的坐标满足方程，即可求得；

（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据弦长公式和直线与圆位置关系的判断方法，即可求证.

（1）由题可设抛物线方程为，

因为抛物线过点，故可得，解得，

故抛物线方程为.

（2）由抛物线方程可知，点的坐标为，的方程为.

当直线斜率不存在时，直线方程为，

联立抛物线方程，可得，或，

不妨设.

则以为直径的圆的圆心为，半径，

又圆心到直线的距离为，

故此时满足以为直径的圆与准线相切.

当直线斜率存在时，容易知，设直线的方程为，

联立抛物线方程，可得.

设，

则.

则以为直径的圆的圆心的横坐标为，

即圆心横坐标为.

则圆心到直线的距离为；

又弦长

则以为直径的圆的半径，

则圆心到直线的距离等于半径.

故以为直径的圆与准线相切.

综上所述：以为直径的圆与直线相切，即证.