Question

【题目】如图,在四棱锥中，四边形是平行四边形, 且, , 平面.

（1）为棱的中点,求证: 平面；

（2）求证: 平面平面；

（3）若, ,求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）由四边形是平行四边形，可得为中点，又为中点，由三角形中位数定理可得，再由线面平行的判定可得平面；（2）由平面，得，再由，可得平面,进一步得到平面平面；(3)由已知求出四边形的面积，先求出高，再由棱锥的体积公式得答案.

试题解析：（1）因为点为棱的中点,点为的中点,

所以 ,又因为平面,

所以平面.

（2）证明:因为平面,又平面

所以,又因为,

所以平面,又因为平面.

所以平面平面.

（3）因为,又,

所以四边形的面积为4，

因为,点为的中点,

所以.

所以四棱锥的体积为: .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.