Question

若关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空．
（Ⅰ）求集合T；
（Ⅱ）若a，b∈T，求证：ab+1＞a+b．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：对第（1）问，只需t大于|x-2|+|x-3|的最小值，转化为求|x-2|+|x-3|的最小值问题；
对第（2）问，利用作差比较法比较两式的大小，作差后，通过分组分解的方式进行因式分解，根据题设即可达到目的．

解答： 解：（Ⅰ）∵关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t的解集非空，
∴t大于|x-2|+|x-3|的最小值，
而|x-2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=1，
当且仅当（x-2）（x-3）≤0，即2≤x≤3时取“=”号，
∴t＞1，即得T={t|t＞1 }．
（Ⅱ）（ab+1）-（a+b）=（ab-a）+（1-b）=a（b-1）-（b-1）=（b-1）（a-1），
∵a，b∈T，∴a＞1，b＞1，
∴（b-1）（a-1）＞0，即（ab+1）-（a+b）＞0，
∴ab+1＞a+b．

点评：1、本题属于含参数的不等式有解问题，一般套路是：
若关于x的不等式t＞f（x）有解，则t＞[f（x）]min；
若关于x的不等式t＜f（x）有解，则t＜[f（x）]max．
值得注意的是，原不等式中是否含有等于号，f（x）是否有最值，这都可能会影响到t能否取等于号，对具体问题应具体分析，不能死搬套路．
2、作差比较法的一般步骤是：
①作差；
②将差式变形
若为整式，常通过因式分解的方式，将差式化为几个式子相乘的形式，
若为分式，且分母不同，可先通分，将差式化为两式子相比的形式；
③判断差式的符号；
④下结论．