Question

若存在实数x，使不等式|2x-1|-|2x+

3

2

|-a≤0（a∈Z）成立，则a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：先将不等式变形为a≥|2x-1-|2x+

3

2

|，只需a大于或等于|2x-1-|2x+

3

2

|的最小值，从而可得整数a的值．

解答： 解：存在实数x，使不等式|2x-1|-|2x+

3

2

|-a≤0（a∈Z）成立，
等价于不等式a≥|2x-1-|2x+

3

2

|（a∈Z）有实数解，
则只需整数a大于或等于|2x-1|-|2x+

3

2

|的最小值．
令f(x)=2(|x-

1

2

|-|x+

3

4

|)，
根据绝对值的几何意义，
|x-

1

2

|表示数轴上的数x到

1

2

的距离，
|x+

3

4

|表示数轴上的数x到-

3

4

的距离，
则|x-

1

2

|-|x+

3

4

|的最小值为-

3

4

-

1

2

=-

5

4

，
即f（x）的最小值为2×(-

5

4

)=-

5

2

．
所以a≥-

5

2

，又a∈Z，则a的最小值为-2．
故答案为：-2．

点评：本题属于含参数的不等式有解问题，一般套路是：
若关于x的不等式a≥f（x）有解，则a≥[f（x）]_min；
若关于x的不等式a≤f（x）有解，则a≤[f（x）]_max．
值得注意的是，原不等式中是否含有等于号，f（x）是否有最值，这都可能会影响到a能否取等于号，对具体问题应具体分析，不能死搬套路．