Question

设常数a使方程sinx+

3

cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+

π

3

）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=

3

时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x₁，x₂，x₃最后相加即可．

解答： 解：sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=

3

时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+

π

3

）=

3

2

，x+

π

3

=2kπ+

π

3

，即x=2kπ，或x+

π

3

=2kπ+

2π

3

，即x=2kπ+

π

3

，
∴此时x₁=0，x₂=

π

3

，x₃=2π，
∴x₁+x₂+x₃=0+

π

3

+2π=

7π

3

．
故答案为：

7π

3

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．