Question

如图，A₁（-2，0），A₂（2，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个端点，M是椭圆上不同于A₁，A₂的点，且MA₁与MA₂的斜率之积为-

3

4

，F（c，0）为椭圆C的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线MA₁，MA₂分别与直线x=

a2

c

相交于点P，Q，证明：FP⊥FQ．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（x，y），（x≠±2），由已知条件推导出

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，得

a2

c

=4，F（1，0），设P（4，y_P），Q（4，y_Q），由已知条件推导出y_P•y_Q=-9，由此能证明FP⊥FQ．

解答： （Ⅰ）解：设M（x，y），（x≠±2），
则kMA1=

y

x+2

，kMA2=

y

x-2

，
∵kMA1•kMA2=-

3

4

，
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，
化简，得

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠±2），
∵M在椭圆上，且A₁（-2，0），A₂（2，0）也适合上述方程，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
∴

a2

c

=4，F（1，0），
设P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵MA₁与MA₂的斜率之积为-

3

4

，
∴kPA1•kQA2=

yP

6

•

yQ

2

=-

3

4

，
解得y_P•y_Q=-9，
∴k_FP•k_FQ=

yP

3

•

yQ

3

=-1，
∴FP⊥FQ．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的证明，解题时要认真审题，注意直线斜率、椭圆性质、直线与椭圆的位置关系等知识点的合理运用．