Question

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面EAC？若存在，试求出PF的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，判断出AB=AD=AC=1，进而在△PAB中，推断出PA²+AB²=PB²，可知PA⊥AB，同理也可证明出PA⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理推断出PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设点F是棱PC上的一点，则

PF

，

BP

可表示出来，以A为坐标原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量要使BF∥平面EAC，需满足

BF

⊥n，从而

BF

•n=0，建立等式求得λ，故F为棱PC的中点时，BF∥平面EAC，并能求得此时F点的坐标，进而求得

PF

的模即为PF的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=1，
∵在△PAB中，PA=AB=1，PB=

2

，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，
同理可知PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：设点F是棱PC上的一点，

PF

=λ

PC

=（

3

2

•λ，

1

2

λ，-λ），其中0＜λ＜1，

BP

=（-

3

2

，

1

2

，1），则

BF

=（

3

2

λ-

3

2

，

1

2

λ+

1

2

，-λ+1），
以A为坐标原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（0，

2

3

，

1

3

），
则

AC

=（

3

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
设平面EAC的法向量为n=（x，y，z），

n• AC =0 n• AE =0

，得

3 2 x+ 1 2 y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，
令x=1，则y=-

3

，z=2

3

，
故n=（1，-

3

，2

3

），
即平面EAC的法向量为n=（1，-

3

，2），
要使BF∥平面EAC，需满足

BF

⊥n，从而

BF

•n=0，
即有

3

2

λ-

3

2

-

3

2

λ-

3

2

-2

3

λ+2

3

=0，
解得λ=

1

2

，故F为棱PC的中点时，BF∥平面EAC，
此时F点的坐标为（

3

4

，

1

4

，

1

2

），

PF

=（

3

4

，

1

4

，-

1

2

），
∴PF的值为|

PF

|=

3 16 + 1 16 + 1 4

=

2

2

．

点评：本题主要考查了直线平面的垂直的判定定理，法向量的应用，向量的运算等知识．综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．