Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且A∈（

π

6

，

π

2

），求边长c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，与已知等式结合整理后求出tanB的值，根据B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；
（2）由三角形内角和定理列出关系式，将B度数代入表示出C，根据b与sinB的值，利用正弦定理表示出c，根据A的范围利用正弦函数值域即可确定出c的范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a²+c²-b²=2accosB，且a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB，
∴2accosB=

2 3

3

acsinB，
∴tanB=

3

，
又∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-A-B=

2π

3

-A，
由正弦定理，得

c

sinC

=

b

sinB

=

3

sin π 3

=2，
∴c=2sinC=2sin（

2π

3

-A），
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜

2π

3

-A＜

π

2

．
∴

1

2

＜sin（

2π

3

-A）＜1，
∴c∈（1，2）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．