Question

过椭圆E：

x2

2

+y²=1右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于A，B两点，直线y=x+n与椭圆E交于C，D两点，与线段AB相交于点P（与点A和B不重合）．
（Ⅰ）若AB平分CD，求CD所在直线方程．
（Ⅱ）四边形ABCD的面积是否有最大值，如果有，求出其最大面积，如果没有，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由题意知直线AB的方程为x=1，P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），由P在直线AB上，知x₁+x₂=2，联立

x2 2 +y2=1 y=x+n

，得3x²+4nx+2n²-2=0，由此能求出CD所在的直线方程．
（Ⅱ）由已知条件推导出A（1，-

2

2

），B（1，

2

2

），P（1，1+n），-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

，四边形ACBD的面积S=

2

3

3-n2

，(-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

)，由函数的单调性推导出四边形ABCD的面积S没有最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由题意知直线AB的方程为x=1，
∵AB平分CD，∴P为CD的中点，∴P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∵P在直线AB上，∴x₁+x₂=2，
联立

x2 2 +y2=1 y=x+n

，得3x²+4nx+2n²-2=0，
∴x1+x2=-

4n

3

=2，解得n=-

3

2

，
∴CD所在的直线方程为y=x-

3

2

．
（Ⅱ）如图，∵椭圆E：

x2

2

+y²=1右焦点
且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于A，B两点，
直线y=x+n与椭圆E交于C，D两点，
与线段AB相交于点P，
∴A（1，-

2

2

），B（1，

2

2

），P（1，1+n），
∵P在AB上，∴-

2

2

＜1+n＜

2

2

，
解得-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

，
四边形ACBD的面积S=

1

2

•|AB|•|x₂-x₁|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，
由（Ⅰ）知x1+x2=-

4n

3

，x1x2=

2n2-2

3

，
代入上式，整理得S=

2

3

3-n2

，(-1-

2

2

＜n＜-1+

2

2

)，
∵在区间（-1-

2

2

，-1+

2

2

）上，S关于n单调递增，
∴四边形ABCD的面积S没有最大值．

点评：本题考查直线方程的求法，考查四边形面积是否有最大值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．