Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b²=ac，sinB=

2

sinA．
（Ⅰ）求cosB．
（Ⅱ）若△ABC的面积为

7

，求BC边上中线的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，将第一个等式代入表示出c，进而表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b与c代入即可求出cosB的值；
（Ⅱ）根据cosB的值，利用同角三角函数基本关系求出sinB的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积，c=2a以及sinB的值代入求出a的值，进而求出c的值，在三角形ABD中，利用余弦定理即可求出AD的长．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理化简sinB=

2

sinA，化简得：b=

2

a，
代入b²=ac，得：c=2a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cosB=

3

4

，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

•a•2a•

7

4

=

7

，
解得：a=2，
∴c=4，
如图，取BC中点D，则BD=1，
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=16+1-6=11，
则AD=

11

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．