Question

如图，AB，CD为圆O的两条直径，P为圆O所在平面外的一点，且PA=PB=PC
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥圆O所在平面；
（Ⅱ）若AP⊥BP，∠BAC=

π

6

，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出△OPA≌△OPB≌△OPC，从而得到∠POA=∠POB=∠POC=

π

2

，由此能证明PO⊥圆O所在平面，从而得到平面PAB⊥圆O所在平面．
（Ⅱ）连接AC，BC，过C作CE⊥AB，垂足为E，过E作EF⊥BP，垂足为F，连接CF，由已知条件推导出∠EFC是二面角A-BP-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB，CD为圆O的两条直径，
P为圆O所在平面外的一点，且PA=PB=PC，
OP=OP=OP，
∴△OPA≌△OPB≌△OPC，
∴∠POA=∠POB=∠POC，
又∵∠POA+∠POB=π，
∴∠POA=∠POB=∠POC=

π

2

，
∵PO⊥AO，PO⊥CO，AO∩CO=O，
AO?圆O所在平面，CO?圆O所在平面，
∴PO⊥圆O所在平面，
∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥圆O所在平面．
（Ⅱ）解：连接AC，BC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
过E作EF⊥BP，垂足为F，连接CF，
由（Ⅰ）知PO⊥圆O所在平面，
∴PO⊥CE，
又∵AB⊥CE，PO∩AB=O，
∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥BP，
又∵EF⊥BP，CE∩EF=E，∴BP⊥平面CEF，
∴BP⊥CF，BP⊥EF，
∴∠EFC是二面角A-BP-C的平面角，
设AB=2a，∵AB为圆O直径，C在圆O上，
∴AC⊥BC，又∵∠BAC=

π

6

，
∴AC=

3

a，BC=a，
又∵CE⊥AB，∠CBA=

π

3

，∴BE=

1

2

a，
∵AP⊥BP，AP=BP，∴△APB为等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，
∴EF=

1

2

asin

π

4

=

2

4

a，
∴tan∠EFC=

CE

EF

=

3 2 a

2 4 a

=

6

，
∴cos∠EFC=

7

7

，
∴二面角A-PB-C的余弦值是

7

7

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．