Question

已知等差数列{a_n}的首项a_l=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项，
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）设b_n=

1

n(an+5)

（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞

t

36

总成立？若存在，求出t：若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，解得d，即可得出结论；
（2）利用裂项相消法求得s_n，使得对任意的n均有S_n＞

t

36

总成立，等价于s_n的最小值大于

t

36

，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
整理得2a₁d=d²，
∵a₁=1，解得：d=0（舍），d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N*）．
（2）b_n=

1

n(an+5)

=

1

2n(n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

4

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

，
∴s_n+1-s_n=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+3

）＞0，
∴数列{S_n}是单调递增的，∴s₁=

1

6

∴使得对任意的n均有S_n＞

t

36

总成立，等价于

1

6

＞

t

36

，即t＜6，
又∵t∈N^*，∴满足条件的t的最大值是5．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及裂项法求数列的和知识，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属难题．