Question

过双曲线x²-

y2

3

=1的左焦点F₁作直线l与双曲线相交于A、B两点，记|AB|=m，若从区间（2，8）中任取一个实数为m，则这样的直线l恰好能作两条的概率为

 

．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：双曲线的两个顶点之间的距离是2，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于m，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也是一条长度等于m的线段．

解答： 解：双曲线为：x²-

y2

3

=1，则a=1，b=

3

；
若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为

2b2

a

=6，
此时只有一条直线符合条件；
若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=2，距离无最大值，
结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；
综合可得，有3条直线符合条件；
故直线l恰好能作两条的概率为：

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查直线与双曲线之间的关系问题，几何概型的概率计算，以及思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值，本题解题的关键是看清楚当直线的斜率不存在，即直线与实轴垂直时，要验证线段的长度，属于中档题．